D’ailleurs tu remarques, c’est là où tu reconnais un matheux, la phase de début tu ne comprends pas mais il n’y a pas de panique.
Yoan Tardy
Je reçois Yoan Tardy, actuellement postdoctorant à l’école Polytechnique, qui nous, parle dans la première partie de la vidéo, de son parcours scolaire et de son goût pour les maths.
Dans la deuxième partie, je lui ai proposé un exercice auquel il a réfléchi en direct en expliquant sa démarche. J’écris ici sa démarche de façon plus « propre » et je mets aussi la correction de l’exercice issue du livre dans lequel je l’ai trouvé.
L’énonce de l’exercice est le suivant :
Raisonnement de Yoan
Si vous avez regardé le raisonnement de la vidéo, vous verrez que je retranscris ici ce qu’il a fait mais évidemment on ne voit pas les moments de doute et de tâtonnement. Gardez donc en tête que la réalité c’est celle de la vidéo et non les versions « propres » écrites qui coulent de limpidité.
Comprendre la question / Tester sur des valeurs
En prenant 
, on a pour tout 
, 
. En prenant 
, on a pour tout 
, 
. On a envie de dire que 
.
On peut itérer la première égalité remarquée pour en déduire que pour tout 
et tout on a :
![\[f^{(2n)}(y)= y f(1)^n\]](https://mathrais.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-137e8a6229f7a7831fedbce4f8afaf25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En prenant dans cette dernière, on trouve que 
et ceci est vrai pour tout 
. On en déduit ce qu’on avait intuité au départ, .
Maintenant qu’on sait ça, la première relation nous donne que pour tout 
, 
. En particulier 
est inversible (d’inverse égal à lui-même).
Simplifier le problème
On suppose que est continue. (c’est l’hypothèse simplificatrice qu’on a oublié d’indiquer dans la vidéo)
Puisque est injective (car inversible) et continue alors elle est monotone. Puisque 
quand 
tend vers l’infini, la monotonie et l’inversibilité impliquent que 
quand tend vers 
.
Cela nous donne donc une certaine tête de fonction :
Remarquons que cela a la tête de la fonction 
et qu’en effet cette fonction vérifie bien l’énoncé.
Remarquons aussi qu’en prenant 
dans le premier point, on a 
pour tout . Cela signifie que pour tout , 
est un point fixe. Cela fait beaucoup de points fixes, or une fonction monotone ne peut avoir qu’un seul point fixe, cela signifie donc que est constante pour tout et est en particulier égal à 
. Finalement
![\[\forall x\in\mathbb{R}_+^* \quad f(x)=\frac{1}{x}.\]](https://mathrais.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed760a8482fee71ae8718b9a4efffa1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Correction de l’exercice
Lorsque n’est pas continue, le raisonnement précédent ne fonctionne pas, il faut l’adapter. Il y néanmoins cette idée qu’il ne peut pas y avoir trop de points fixes. Je vous écris ici la solution telle qu’elle apparaît dans le livre Solution d’Experts – Volume 2 de Arthur Engel.
