Inégalités – Entraînement Olympiades Maths

L’inégalité n’est pas une preuve de l’existence de l’égalité.

Ylipe

Dans cet article écrit qui accompagne la vidéo, vous trouverez un exemple de bonne rédaction pour les exercices traités dans la vidéo.

Exercice 1 : Inégalité Arithmético-Géométrique

Exercice : Soit a,b,c\geq0 des réels. Montrer que (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.

Solution

Une façon un peu plus élégante de résoudre cette équation, que celle dans la vidéo, est d’appliquer trois fois l’IAG : à a+b puis b+c et c+a. Cela donne

    \[(a+b)(b+c)(c+a) \leq (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})=8abc\]

Exercice 2 : Inégalité de réordonnement

Exercice : Soit a,b,c>0 des réels. Montrer que \frac{a+b+c}{abc}\leq\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.

Solution

Remarquons que l’inégalité à montrer est symétrique en a,b,c. On peut donc supposer sans perte de généralité que a\leq b \leq c. Ainsi \frac{1}{a}\geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c}. Par l’inégalité de réordonnement, on déduit que

    \[\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab} \leq \frac{1}{a}\times\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\times\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\times\frac{1}{c}\]

D’où le résultat.

Exercice 3 : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Exercice : Soit a_1,\dots,a_n>0 des réels. Montrer que \frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}\geq \frac{n^2}{a_1+\dots+a_n}.

Solution

Il s’agit de remarquer qu’on peut écrire :

    \[\left(\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}\right)(a_1+\dots+a_n)= \left(\frac{1}{\sqrt{a_1}^2}+\dots+\frac{1}{\sqrt{a_n}^2}\right)(\sqrt{a_1}^2+\dots+\sqrt{a_1}^n)\]

On applique ensuite l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour trouver

    \[\left(\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}\right)(a_1+\dots+a_n) \geq \left(\frac{1}{\sqrt{a_1}}\sqrt{a_1}+\dots+\frac{1}{\sqrt{a_n}}\sqrt{a_n}\right)^2 = n^2\]

D’où le résultat.

Remarque : On peut montrer avec un raisonnement similaire une inégalité assez pratique appelée inégalité des mauvais élèves : Pour b_1,\dots,b_n des réels et a_1,\dots,a_n des réels >0 on a \frac{b_1^2}{a_1}+\dots+\frac{b_n^2}{a_n}\geq \frac{(b_1+\dots+b_n)^2}{a_1+\dots+a_n}

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