Équations Fonctionnelles - Entraînement Olympiades Maths

Je considère que je comprends une équation lorsque je peux prédire les propriétés de ses solutions, sans pour autant la résoudre.
Paul Dirac

Dans cet article écrit qui accompagne la vidéo, vous trouverez un exemple de bonne rédaction pour les exercices traités dans la vidéo.

Équation 1

Exercice : Déterminer les fonctions $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ telles que

$\forall x,y\in\mathbb{R}\quad f(x-f(y))=1-x-y.$

Solution

Soit $f$ une solution de l’équation. Soit $y\in\mathbb{R}$ . On a

$f(f(y)-f(y))=f(0)=1-f(y)-y \text{ d'où } f(y)=-y+1-f(0).$

En particulier en prenant $y=0$ on obtient $f(0)=1-f(0)$ donc $f(0)=\frac{1}{2}$ . Finalement $f$ est donc de la forme $x\rightarrow -x+\frac{1}{2}$ .

Réciproquement, on vérifie que la fonction $f:x\in\mathbb{R}\rightarrow -x+\frac{1}{2}$ est bien solution, ce qui est le cas. C’est donc l’unique solution de l’équation.

Équation 2 : Équation fonctionnelle de Cauchy

Exercice : Déterminer les fonctions $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ continues telles que

$\forall x,y\in\mathbb{R}\quad f(x+y)=f(x)+f(y).$

Solution

Soit $f$ une solution de l’équation. En prenant $x=y=0$ , on trouve que $f(0)=2f(0)$ c’est-à-dire que $f(0)=0$ .

Soit $x\in\mathbb{R}$ . On a $f(x-x)=f(0)=0=f(x)+f(-x)$ donc $f(-x)=-f(x)$ . D’où $f$ est une fonction impaire.

Notons que $f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)$ . Par récurrence, on montre facilement que pour tout entier $n\geq 1$ on a $f(nx)=nf(x)$ . Notons que l’égalité est encore vraie pour $n=0$ et elle est vraie aussi pour les entiers négatifs en utilisant l’imparité de $f$ .

Soit $r=\frac{p}{q}$ un rationnel avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in \mathbb{N}^*$ . On a

$f(q\frac{p}{q})=f(p)=pf(1)=qf(\frac{p}{q}).$

Donc pour tout $r$ rationnel, on déduit que $f(r)=rf(1)$ .

Soit $x\in\mathbb{R}$ . Il existe une suite $(r_n)$ de rationnels telle que $(r_n)$ converge vers $x$ . Par ce qui précède, pour tout entier $n$ on a $f(r_n)=r_nf(1)$ . Par continuité de $f$ , en faisant tendre $n$ vers $+\infty$ on déduit que $f(x)=xf(1)$ .

Ainsi si $f$ est solution alors $f$ est une fonction linéaire.

Réciproquement on vérifie que toute fonction linéaire satisfait bien l’équation fonctionnelle.

Équation 3

Exercice : Déterminer les fonctions $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ continues telles que

$\forall x\in\mathbb{R}\quad 3f(2x+1)=f(x)+5x.$

Solution

Soit $f$ une solution de l’équation et soit $x\in\mathbb{R}$ .

Définissons la suite $(u_n)$ par $u_0=x$ et pour tout $n\geq0 \quad u_{n+1}=\frac{u_n-1}{2}$ .

Soit $l\in\mathbb{R}$ vérifiant l’équation $l=\frac{l-1}{2}$ , c’est-à-dire $l=-1$ .

Pour tout entier $n\geq 0$ on a $u_{n+1}-l=\frac{1}{2}(u_n-l)$ . On en déduit que pour tout $n\geq 0$

$u_n-l=(\frac{1}{2})^n(u_0-l) \text{ donc } u_n=(\frac{1}{2})^n(u_0+1)-1$

Soit $n\in\mathbb{N}$ . On a $3f(u_n)=f(u_{n+1})+5u_{n+1}$ . En divisant par $3^{n+1}$ on obtient

$\frac{f(u_n)}{3^n}-\frac{f(u_{n+1})}{3^{n+1}}=5\frac{u_{n+1}}{3^{n+1}}$

En sommant cette égalité de $0$ à $N-1$ avec un $N\geq 1$ on déduit que

$f(u_0)=\frac{f(u_N)}{3^N}+\sum_{n=0}^{N}5\frac{u_{n+1}}{3^{n+1}}$

Puisque $u_N\rightarrow -1$ quand $N$ tend vers $+\infty$ et que $f(-1)=-\frac{5}{2}$ (prendre $x=-1$ dans l’équation fonctionnelle pour le voir) on déduit par continuité de $f$ que $\frac{f(u_N)}{3^N}\rightarrow 0$ . Finalement on a donc en passant à la limite dans l’égalité précédente,