Équations diophantiennes - Entraînement Olympiades Maths

Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’Homme.
Léopold Kronecker

Dans cet article écrit qui accompagne la vidéo, vous trouverez un exemple de bonne rédaction pour les exercices traités dans la vidéo.

Exercice 1 : Factorisation

Exercice : Déterminer les couples d’entiers positifs $(x,y)$ tels que $x^2-y^2=21$ .

Solution

Soit $(x,y)$ une solution. On a

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=21=3\times 7$

Par unicité de la décomposition en nombres premiers et par le fait que $x,y$ sont positifs, on déduit qu’on a forcément ( $x-y=3$ et $x+y=7$ ) ou ( $x-y=1 et x+y=21$ ) c’est-à-dire ( $x=5$ et $y=2$ ) ou $(x=10$ et $y=1$ ). On vérifie que les couple $(5,2)$ et $(10,1)$ sont bien solutions.

Exercice 2 : Congruence 1

Exercice : Déterminer les couples d’entiers positifs $(x,y)$ tels que $x^2=4y+3$ .

Solution

Soit $(x,y)$ une solution. En prenant l’équation modulo $4$ , on déduit que $x^2=3[4]$ .

Or les seuls carrés modulo $4$ sont $0$ et $1$ , c’est donc impossible. Cette équation n’admet donc pas de solution.

Exercice 3 : Congruence 2

Exercice : Déterminer les triplets de nombres premiers $(p,q,r)$ tels que $3p^4-5q^4-4r^2=26$ .

Solution

Soit $(p,q,r)$ une solution. En prenant l’équation modulo $3$ on a

$q^4-r^2 = -1[3].$

Or les seuls carrés modulo $3$ sont $0$ et $1$ . Cela implique qu’on a forcément $q^4=0[3]$ et $r^2=1[3]$ . En particulier $3$ divise $q$ et puisque $q$ est premier cela implique que $q=3$ .